1)Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, de espesor 2 cm y de índice de refracción n=3/2, situada en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 30°.
- Compruebe que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia.
- Determine la distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina y el desplazamiento lateral, del rayo emergente.
Solución:
El rayo incide desde el aire en una cara bajo un ángulo i y se refracta, acercándose a la normal, con un ángulo r, pasando al interior; atraviesa la lámina e incide en la parte interior de la otra cara con un ángulo i' refractándose, alejándose de la normal, saliendo al aire con un ángulo emergente r'.Al estar la lámina rodeada de aire, como la ecuación de la refracción es la misma y por ser el ángulo de la primera refracción igual al ángulo de incidencia de la segunda refracción, r = i' , el ángulo emergente debe ser igual al de incidencia: r' = i
1ª refracción: 1. sen i = n. sen r
en este caso r = arc sen (sen 30 /1'5) = 19'47º
2ª refracción: n. sen i' = 1. sen r'
pero r = i' ® 1. sen i = n. sen r = n. sen i' = 1. sen r' ® r' = i
en este caso como incide con 30º, el ángulo emergente es 30º
Los rayos incidente y emergentes son paralelos. Para determinar la distancia recorrida y la separación entre estos rayos utilizamos los triángulos ABC y ABD:
cos r = e /AB ® AB = e / cos r
sen (i - r) = d / AB ® d = AB . sen (i - r)
en este caso:
AB = 2 / cos 19'47 = 2'12 cm
d = 2'12 . sen (30 - 19'47) = 0'39 cm
2)Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla. Una lente, cuya distancia focal es desconocida, forma sobre la pantalla una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto.
a)¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente? ¿Cuál es el valor de la distancia focal de la lente?
b) Se desplaza la lente de manera que se obtenga sobre la misma pantalla una imagen nítida, pero de tamaño diferente al obtenido anteriormente. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento?
Solución:
Hay que tener en cuenta el criterio de signos, x e y' son negativos.La lente tiene que ser convergente y el objeto debe estar más lejos de lente que la distancia focal, pues en todos los demás casos, incluida lente divergente, las imágenes son virtuales.
En el primer caso, las ecuaciones a resolver son:
- x + x' = 6 [1]
1 /x' - 1 /x = 1 /f' [2]
y' /y = x' /x = - 4 [3]
despejando x' de [3] y sustituyendo en [1]:
x' = - 4 .x ® - x - 4 .x = 6 ® x = - 6 /5 = - 12 /10 = - 1'2 metros ® x' = 48 /10 = 4´8 metros
la lente tiene que estar entre el objeto y la pantalla, a 1'2 m del objeto y a 4'8 m de la pantalla.
Sustituyendo estos valores en [2]:
1 / (48 /10) - 1 /(-12 /10) = 1 /f' ® 10 /48 + 10 /12 = 1 /f'
® 50 /48 = 1 /f' ® f' = 48 /50 = 24 /25 = 0'96 metros
la distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente.
En el segundo caso, la lente es la misma, luego f' = 0'96 m, y las ecuaciones [1] y [2] siguen siendo válidas, no así la [3]
Despejando x' de [1] y sustituyendo en [2]:
x' = 6 + x ® 1 / (6 + x) - 1 /x = 25 /24 ® 24 .[x - (6 + x)] = 25. x .(6 + x)
® - 144 = 150 .x + 25 .x2 ® 25. x2 + 150. x + 144 = 0
ecuación con dos soluciones:
x1 = - 12 /10 , que es la del primer apartado
x2 = - 48 /10 = - 4'8 ® x' = 1'2 m
y el nuevo aumento será : A = y' / y = x' / x = 1'2 /(-4'8) = - 1 /4
la imagen es cuatro veces menor, real e invertida.
3)Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio de índice de refracción 1'4 , ángulo en el vértice de 50º y que se encuentra en el aire, incide un rayo de luz con un ángulo de 20º. Determinar:
a) Ángulo de desviación sufrido por el rayo.
b) Ángulo de desviación mínima de este prisma.
Solución:
Según el dibujo y el enunciado:a = 50º
i = 20º
n = 1'4
El ángulo de desviación entre el rayo incidente y el emergente es d = i + r' - a , como puede deducirse a partir del cudrilátero ABCD y de los triángulos BDC y BEC.
En la primera refracción:
1 . sen 20 = 1'4 . sen r ® r = arc sen ( sen 20 /1'4) = 14'14 º
del triángulo BDC se obtiene: r + i' = 50 ® i' = 50 - 14'14 = 35'86 º
En la segunda refracción:
1'4 . sen 35'86 = 1 . sen r' ® r' = 55'1 º
La desviación de los rayos es: d = 20 + 55'1 - 50 = 25'1 º
El ángulo de desviación mínimo se corresponde a un ángulo de incidencia tal que sea igual al ángulo emergente, i = r', y por tanto el ángulo de la primera refracción es la mitad del ángulo del prisma: r = a /2.
En este caso r = 50 /2 = 25 º
1 . sen i = 1'4 . sen 25 ® i = 36'28 º
